Calcule os seguintes limites:
lim x infty(1+2x+1x^2)^x

Passo 1

O problema pede
limxtoinftyl(1+tfrac2x+tfrac1x^2r)^x
Perceba que, para grandes x, a base tende a 1 e o expoente vai a infinito, então temos uma indeterminação do tipo 1^infty. O truque é reescrever a base para aparecer o limite notável
limttoinftyl(1+tfrac1tr)^t=e

Passo 2

Note que
1+2x+1x^2 =l(1+tfrac1xr)^2

Passo 3

Substituindo na expressão original, vem
l(1+tfrac2x+tfrac1x^2r)^x =l[(1+tfrac1x)^2r]^x =(1+tfrac1x)^2x =l[(1+tfrac1x)^xr]^2

Passo 4

Como
limxtoinfty(1+tfrac1x)^x=e,
seguimos que
limxtoinftyl[(1+tfrac1x)^xr]^2 =e^2

Resposta

e^2

Exercícios relacionados