Determine o jacobiano da transformação.
x=e^2 u cos v, y=e^2 u sen v

Passo 1

O enunciado dá a transformação
x = e^2ucos v, y = e^2usin v
e pede o jacobiano J = detl(partial(x,y)/partial(u,v)r). Para isso vamos calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v e montar a matriz jacobiana.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais, temos
partial xpartial u = partialpartial ul(e^2ucos vr) = 2e^2ucos v, partial xpartial v = partialpartial vl(e^2ucos vr) = -e^2usin v,
partial ypartial u = partialpartial ul(e^2usin vr) = 2e^2usin v, partial ypartial v = partialpartial vl(e^2usin vr) = e^2ucos v

Passo 3

A matriz jacobiana é
partial xpartial u & partial xpartial v [6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = 2e^2ucos v & -e^2usin v [6pt] 2e^2usin v & ,e^2ucos v
O determinante dessa matriz é
J = l(2e^2ucos vr)l(e^2ucos vr) - l(-e^2usin vr)l(2e^2usin vr) ]

Passo 4

Simplificando,
J = 2e^4ucos^2 v + 2e^4usin^2 v = 2e^4ul(cos^2 v + sin^2 vr) = 2e^4u

Resposta

O jacobiano da transformação é
J = 2e^4u

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