Calcule os seguintes limites:
lim x 1 sen(x^n-1)x^m-1.

Passo 1

O enunciado pede
limxto1sinl(x^n-1r)x^m-1,
que é um caso do tipo 0/0. Vamos usar dois ingredientes clássicos de limites: o fato de
limuto0sin uu=1
e a relação
limxto1x^k-1x-1=k

Passo 2

Reescrevemos o quociente de modo a explorar sin u/u:
sinl(x^n-1r)x^m-1 = sinl(x^n-1r)x^n-1;times; x^n-1x^m-1
Quando xto1, o primeiro fator tende a
limxto1sin(x^n-1)x^n-1 =limuto0sin uu =1

Passo 3

Restou avaliar
limxto1x^n-1x^m-1
Cada termo é do tipo 0/0, mas por séries ou usando derivada pelo teorema de l’H^opital (ou o fato de x^k-1sim k(x-1)) temos
limxto1x^n-1x^m-1 =nm

Passo 4

Multiplicando os dois resultados, o limite original vale
1cdotnm=nm

Resposta

nm

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