Derive as seguintes funções:
y=3 x^2-8 x+1x^3+5 x+20

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função y = 3x^2 - 8x + 1x^3 + 5x + 20 . Isso está ligado ao estudo de cálculo diferencial, mais especificamente à derivação de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisão de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem à Regra do Quociente. Nessa regra, se temos uma função y = u(x)v(x) , então a derivada y' é dada por:
y' = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Aqui, u(x) = 3x^2 - 8x + 1 e v(x) = x^3 + 5x + 20 . Vamos precisar das derivadas de u(x) e v(x) .

Passo 3

Vamos derivar u(x) = 3x^2 - 8x + 1 :
u'(x) = ddx(3x^2) - ddx(8x) + ddx(1) = 6x - 8
Agora, vamos derivar v(x) = x^3 + 5x + 20 :
v'(x) = ddx(x^3) + ddx(5x) + ddx(20) = 3x^2 + 5

Passo 4

Agora que temos u'(x) = 6x - 8 e v'(x) = 3x^2 + 5 , vamos aplicar a Regra do Quociente:
y' = (6x - 8)(x^3 + 5x + 20) - (3x^2 - 8x + 1)(3x^2 + 5)(x^3 + 5x + 20)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro, expandir os produtos:
  1. Expandindo (6x - 8)(x^3 + 5x + 20) :
6x cdot x^3 = 6x^4
6x cdot 5x = 30x^2
6x cdot 20 = 120x
-8 cdot x^3 = -8x^3
-8 cdot 5x = -40x
-8 cdot 20 = -160
Somando tudo:
6x^4 - 8x^3 + 30x^2 + (120x - 40x) - 160 = 6x^4 - 8x^3 + 30x^2 + 80x - 160
  1. Expandindo (3x^2 - 8x + 1)(3x^2 + 5) :
3x^2 cdot 3x^2 = 9x^4
3x^2 cdot 5 = 15x^2
-8x cdot 3x^2 = -24x^3
-8x cdot 5 = -40x
1 cdot 3x^2 = 3x^2
1 cdot 5 = 5
Somando tudo:
9x^4 - 24x^3 + (15x^2 + 3x^2) - 40x + 5 = 9x^4 - 24x^3 + 18x^2 - 40x + 5

Passo 6

Agora, vamos subtrair o segundo produto do primeiro no numerador:
(6x^4 - 8x^3 + 30x^2 + 80x - 160) - (9x^4 - 24x^3 + 18x^2 - 40x + 5)
Realizando a subtração termo a termo:
6x^4 - 9x^4 = -3x^4
-8x^3 - (-24x^3) = 16x^3
30x^2 - 18x^2 = 12x^2
80x - (-40x) = 120x
-160 - 5 = -165
Então, o numerador simplificado fica:
-3x^4 + 16x^3 + 12x^2 + 120x - 165

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
y' = -3x^4 + 16x^3 + 12x^2 + 120x - 165(x^3 + 5x + 20)^2
Esse é o resultado final da derivada da função dada.

Resposta

A derivada da função é:
y' = -3x^4 + 16x^3 + 12x^2 + 120x - 165(x^3 + 5x + 20)^2

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