Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
, então vale
O conteúdo que vamos usar é a definição de transformada de Laplace e o método de integração por partes, além de um argumento por indução.
Passo 2
Base
. Pela definição,
Fazendo integração por partes com
,
,
obtém-se
obtém-se
Logo
que é o caso
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
já sabemos
Passo 4
Passo indutivo: calculamos
Usando integração por partes com
,
,
vem
vem
Pela hipótese de indução substituímos
e obtemos
Isso fecha o passo indutivo.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo
.