Mostre que Lf^(n)(t)=s^n F(s)-s^n-1 f(0)-s^n-2 f^prime(0)-cdots-f^(n-1)(0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se F(s)=Lf(t), então vale
Lf^(n)(t) = s^nF(s) - s^n-1f(0) - s^n-2f'(0) - cdots - f^(n-1)(0)
O conteúdo que vamos usar é a definição de transformada de Laplace e o método de integração por partes, além de um argumento por indução.

Passo 2

Base n=1. Pela definição,
Lf'(t) = integral0^inftyf'(t)e^-st,dt
Fazendo integração por partes com
u=f'(t), dv=e^-stdt,
obtém-se
integral0^inftyf'(t)e^-st,dt =l[f(t)e^-str]0^infty + sintegral0^inftyf(t)e^-st,dt =-f(0)+sF(s)
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Lf'(t)=sF(s)-f(0),
que é o caso n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>=1 já sabemos
Lf^(k)(t) = s^kF(s) - s^k-1f(0) - s^k-2f'(0) - cdots - f^(k-1)(0)

Passo 4

Passo indutivo: calculamos
Lf^(k+1)(t) = integral0^inftyf^(k+1)(t)e^-st,dt
Usando integração por partes com
u=f^(k+1)(t), dv=e^-stdt,
vem
Lf^(k+1)(t) =l[f^(k)(t)e^-str]0^infty + sintegral0^inftyf^(k)(t)e^-st,dt =-f^(k)(0)+s,Lf^(k)(t)
Pela hipótese de indução substituímos Lf^(k)(t) e obtemos
Lf^(k+1)(t) = sl(s^kF(s)-s^k-1f(0)-cdots-f^(k-1)(0)r) - f^(k)(0) = s^k+1F(s) - s^kf(0) - cdots - f^(k)(0)
Isso fecha o passo indutivo.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo ninN.

Resposta

Lf^(n)(t) = s^nF(s) - s^n-1f(0) - s^n-2f'(0) - cdots - f^(n-1)(0)

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