Verifique que as integrais independem do caminho e calcule seus valores.
integral(1,-2)^(3,4) yx^2 d x-xx^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral
integral(1,-2)^(3,4) yx^2,dx ;-;xx^2,dy
é independente do caminho e, em seguida, calcular seu valor. Aqui estamos tratando de uma forma diferencial omega = M,dx + N,dy com
M(x,y)=yx^2, N(x,y)=-xx^2=-1x
O objetivo é mostrar que omega é exata (logo independente do caminho) e então encontrar uma função potencial f tal que df=omega.

Passo 2

Analisamos o domínio: como xneq0, restringimo-nos à região x>0, que é simplesmente conexa. Para exatidão basta verificar
partial Mpartial y=1x^2, partial Npartial x =partialpartial xl(-1xr) =1x^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x em x>0, a forma omega é exata e a integral independe do caminho.

Passo 3

Buscamos f(x,y) tal que
partial fpartial x=M=yx^2, partial fpartial y=N=-1x
Integramos M em relação a x:
f(x,y)=integral yx^2,dx =-yx+g(y)
Derivando em y e igualando a N, temos
partial fpartial y =-1x+g'(y) ;stackrel!=; -1x ;Longrightarrow; g'(y)=0,
logo g é constante. Podemos escolher
f(x,y)=-yx

Passo 4

Como a integral independe do caminho, vale
integral(1,-2)^(3,4) omega =f(3,4)-f(1,-2)
Calculamos
f(3,4)=-43, f(1,-2)=--21=2,
logo
integral(1,-2)^(3,4) omega =-43-2 =-103

Resposta

-tfrac103

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