Verifique que as integrais independem do caminho e calcule seus valores.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral
é independente do caminho e, em seguida, calcular seu valor. Aqui estamos tratando de uma forma diferencial
com
O objetivo é mostrar que
é exata (logo independente do caminho) e então encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Analisamos o domínio: como
, restringimo-nos à região
, que é simplesmente conexa. Para exatidão basta verificar
Como
em
, a forma
é exata e a integral independe do caminho.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
, temos
logo
é constante. Podemos escolher
Passo 4
Como a integral independe do caminho, vale
Calculamos
logo