Considere a integral de linha
integralC(x ln (x^2+1)+(x^2+1) y) d x+alpha(x^33+x+sin y) d y
(a) Determine a constante alpha para que essa integral seja independente do caminho. (Resp.: 1.)
(b) Calcule o valor dessa integral de A=(0,0) a B=(1,1) para o valor de alpha encontrado em (a). (Resp.: 116+ln 2-cos 1.)

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
integralCl(xlnl(x^2+1r)+(x^2+1)yr),dx+alphal(tfracx^33+x+sin yr),dy
e pede (a) o valor de alpha para que ela seja independente do caminho (isto é, para que a forma diferencial seja exata) e (b) o valor da integral de A=(0,0) a B=(1,1) após encontrar alpha. Vamos usar a condição de exatidão partial M/partial y=partial N/partial x e depois achar uma função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=xln(x^2+1)+(x^2+1)y, N(x,y)=alphal(tfracx^33+x+sin yr)
Para exatidão precisamos de
partial Mpartial y=x^2+1, partial Npartial x =alphal(x^2+1r)
Igualando partial M/partial y=partial N/partial x para todo x,y vem
x^2+1=alphal(x^2+1r) Longrightarrow alpha=1

Passo 3

Com alpha=1, buscamos phi(x,y) tal que
phix=M, phiy=N|alpha=1=tfracx^33+x+sin y
Integramos phix=xln(x^2+1)+(x^2+1)y em relação a x:
integral xln(x^2+1),dx =tfrac12l[(x^2+1)ln(x^2+1)-(x^2+1)r],
integral (x^2+1),y,dx =yl(tfracx^33+xr)
Logo
phi(x,y) =tfrac12l[(x^2+1)ln(x^2+1)-(x^2+1)r] +yl(tfracx^33+xr) +h(y)

Passo 4

Agora usamos phiy= tfracx^33+x+sin y. Calculando
phiy =underbrace0primeiro termo +l(tfracx^33+xr) +h'(y) =tfracx^33+x+h'(y),
igualamos a tfracx^33+x+sin y, daí h'(y)=sin y e
h(y)=-cos y+constante
Podemos ignorar a constante. Assim
phi(x,y) =tfrac12l[(x^2+1)ln(x^2+1)-(x^2+1)r] +yl(tfracx^33+xr) -cos y

Passo 5

O valor da integral de A=(0,0) a B=(1,1) é
phi(1,1)-phi(0,0)
Calculamos
phi(1,1) =tfrac12l[2ln2-2r]+l(tfrac13+1r)cdot1-cos1 =(ln2-1)+tfrac43-cos1 =ln2+tfrac13-cos1,
phi(0,0) =tfrac12l[1cdotln1-1r]+0-cos0 =-tfrac12-1=-tfrac32
Logo
phi(1,1)-phi(0,0) =l(ln2+tfrac13-cos1r)-l(-tfrac32r) =ln2+tfrac13+tfrac32-cos1 =tfrac116+ln2-cos1

Resposta

(a) alpha=1
(b) 116+ln2-cos1

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