Calcule os seguintes limites:
lim x +infty[raiz[3]x^3+1-x]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite à medida que x cresce sem limite:
limx +inftyl[raiz[3]x^3+1-xr]
O conteúdo principal aqui é limite de funções e manipulação algébrica pela identidade de diferença de cubos, além de análise assintótica para xto+infty.

Passo 2

Definimos
a = raiz[3]x^3+1, b = x
Para calcular a - b usamos a identidade
a - b = a^3 - b^3a^2 + a b + b^2
Como a^3 = x^3+1 e b^3 = x^3, o numerador fica
a^3 - b^3 = (x^3+1) - x^3 = 1
Logo
raiz[3]x^3+1 - x = 1a^2 + a b + b^2

Passo 3

Substituindo a e b no denominador, temos
D = (raiz[3]x^3+1)^2 ;+; x,raiz[3]x^3+1 ;+; x^2
Para xto+infty, observa-se que raiz[3]x^3+1sim x. Cada termo de D é então da ordem de x^2, e mais precisamente
D sim x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2

Passo 4

Portanto
raiz[3]x^3+1 - x = 1D sim 13x^2
Como tfrac13x^2to 0 quando xto+infty, concluímos que o limite vale

Resposta

0

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