Questão 10. Calcule as integrais:

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral dxx^2raiz16x^2-9
que envolve uma raiz do tipo raiza^2x^2-b^2. Vamos usar substituição trigonométrica apropriada para transformar essa raiz em função de tan ou sin.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 34sectheta,
pois assim
raiz16x^2-9 = raiz9sec^2theta -9 =3tantheta
Também obteremos
dx = 34secthetatantheta,dtheta e x^2=916sec^2theta

Passo 3

Substituindo tudo no integrando, temos
dxx^2raiz16x^2-9 = 34secthetatantheta,dtheta 916sec^2theta;cdot3tantheta = 342716 secthetatanthetasec^2thetatantheta,dtheta = 48108costheta,dtheta = 49costheta,dtheta

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral 49costheta,dtheta = 49sintheta + C

Passo 5

Voltemos a x. De
x=34sectheta
segue sectheta=4x3 e
tantheta =raizsec^2theta-1 =13raiz16x^2-9
Logo
sintheta =tanthetasectheta =13raiz16x^2-94x3 =raiz16x^2-94x
Substituindo na primitiva em theta, obtemos
49sintheta + C = 49cdotraiz16x^2-94x + C = raiz16x^2-99x + C

Resposta

integral dxx^2raiz16x^2-9 = raiz16x^2-99x + C

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