Calcule os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede calcular
L = limxto+infty raizx-raizx-raizx + raizx-raizxraizx+raizx+raizx
Para resolver esse limite com raízes em cascata, vamos usar a técnica de expansão assintótica de raiz1+varepsilon:
raiz1+varepsilon = 1 + varepsilon2 - varepsilon^28 + o(varepsilon^2),
válida para varepsilonto 0.

Passo 2

Aproximação de raizx-raizx. Escrevemos
raizx-raizx = raizx,raiz1-1raizx,
onde varepsilon = -1/raizx. Usando a expansão,
raiz1+varepsilon approx 1 - 12raizx - 18x,
temos
raizx-raizx = raizxl(1 - tfrac12raizx - tfrac18xr) = raizx - 12 - 18raizx + ol(tfrac1raizxr)

Passo 3

Aproximação de raizx-raizx-raizx. Primeiro note que
raizx-raizx = raizx - 12 + o(1)
Então
raizx-raizx-raizx = raizx-l(raizx-12r) + o(1) = raizx-raizx+12 = raizx,raiz1-1raizx+12x
Com varepsilon = -1/raizx+1/(2x), a expansão dá
raiz1+varepsilon approx 1 - 12raizx + 18x,
logo
raizx-raizx-raizx = raizx - 12 + 18raizx + ol(tfrac1raizxr)

Passo 4

Aproximação de raizx+raizx+raizx. Primeiro
raizx+raizx = raizx,raiz1+1raizx approx raizxl(1 + tfrac12raizx - tfrac18xr) = raizx + 12 - 18raizx + ol(tfrac1raizxr)
Então
raizx+raizx+raizx = raizx+l(raizx+tfrac12r) + o(1) = raizx,raiz1+1raizx+12x approx raizx + 12 + 18raizx + ol(tfrac1raizxr)

Passo 5

Somando o numerador:
raizx-raizx-raizx + raizx-raizx = l(raizx-tfrac12+tfrac18raizxr) + l(raizx-tfrac12-tfrac18raizxr) = 2raizx-1 + o(1)
O denominador é
raizx+raizx+raizx = raizx + tfrac12 + tfrac18raizx + ol(tfrac1raizxr)
Logo
2raizx-1+o(1)raizx+tfrac12+o(1) = raizxl(2 - 1/raizx + o(tfrac1raizx)r)raizxl(1 + 1/(2raizx) + o(tfrac1raizx)r) ;longrightarrow;2

Resposta

2

Exercícios relacionados