1. Seja f derivável em R tal que para todo x, f^prime(x)=f(x). Prove que existe uma constante k tal que, f(x)=k e^x.
    Dica: mostre que a derivada de f(x)e^x=0 e aplique o exercício (3).

Passo 1

O enunciado nos diz que f:RtoR é derivável e satisfaz
f'(x)=f(x)
para todo x. O conteúdo aqui é uma equação diferencial elementar, e a dica sugere mostrar que a função
h(x)=f(x)e^x
tem derivada nula e, pelo exercício (3), é constante. A partir disso vamos obter que f(x)=k e^x.

Passo 2

Definimos
h(x)=f(x)e^x
A ideia é calcular h'(x) usando a regra do quociente:
h'(x) =f'(x),e^x - f(x),e^xl(e^xr)^2

Passo 3

Como f'(x)=f(x), no numerador temos
f'(x),e^x - f(x),e^x =f(x),e^x - f(x),e^x =0
Logo,
h'(x)=0e^2x=0

Passo 4

Pelo resultado do exercício (3), se a derivada de uma função é zero em todo lugar, então essa função é constante. Logo, existe uma constante k tal que
h(x)=k forall x

Passo 5

Como h(x)=f(x)/e^x=k, segue que
f(x)=k,e^x
para todo x.

Resposta

f(x)=k,e^x, com k constante.

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