- Seja
derivável em
tal que para todo
. Prove que existe uma constante
tal que,
.
Dica: mostre que a derivada de
e aplique o exercício (3).
Dica: mostre que a derivada de
Passo 1
O enunciado nos diz que
é derivável e satisfaz
para todo
. O conteúdo aqui é uma equação diferencial elementar, e a dica sugere mostrar que a função
tem derivada nula e, pelo exercício (3), é constante. A partir disso vamos obter que
.
Passo 2
Definimos
A ideia é calcular
usando a regra do quociente:
Passo 3
Como
, no numerador temos
Logo,
Passo 4
Pelo resultado do exercício (3), se a derivada de uma função é zero em todo lugar, então essa função é constante. Logo, existe uma constante
tal que
Passo 5
Como
, segue que
para todo
.