• Questão 14. Calcule as derivadas das funções abaixo
    y=cos (sen x) cossec x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = cos(sin x),csc x
O conteúdo aqui envolve a regra do produto (para multiplicar cos(sin x) por csc x) e a regra da cadeia (para derivar cos(sin x)). Também precisamos saber que
ddxl(csc xr) = -csc xcot x

Passo 2

Vamos chamar
u(x) = cos(sin x), v(x) = csc x,
de modo que y(x)=u(x),v(x). Primeiro calculamos
u'(x)=ddxl[cos(sin x)r]
Usando a regra da cadeia: derivada de cos(t) é -sin(t) vezes t'=ddx(sin x)=cos x. Logo,
u'(x) = -sin(sin x),cos x

Passo 3

Agora derivamos
v(x)=csc x
Sabemos da tabela de derivadas elementares que
v'(x) = -csc x,cot x

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
y'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v', obtemos
y' = l[-sin(sin x)cos xr]csc x ;+;cos(sin x)l[-csc xcot xr]

Passo 5

Basta agora agrupar e simplificar sinais:
y' = -sin(sin x),cos x,csc x ;-;cos(sin x),csc x,cot x
Se quisermos, podemos fatorar -csc x:
y' = -csc xl[sin(sin x)cos x + cos(sin x)cot xr]

Resposta

boxedy' = -sin(sin x),cos x,csc x ;-;cos(sin x),csc x,cot x

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