Calcule os seguintes limites:
f(x)= \begin{cases}3 x+1 & \text { se } x>2 \\\\ -2 x+4 & \text { se } x \leq 2\end{cases}
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 3x+1, & \text{se }x>2,\\\\ -2x+4, & \text{se }x\le2, \end{cases}
e pede o valor de \lim_{x\to2}f(x). Para existir esse limite, as duas limites laterais em x=2 devem ser iguais.

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda x\to2^-. Como para x<2 vale f(x)=-2x+4, temos
\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}(-2x+4) =-2\cdot2+4 =0.

Passo 3

Calcular o limite pela direita x\to2^+. Para x>2 vale f(x)=3x+1, então
\lim_{x\to2^+}f(x) =\lim_{x\to2^+}(3x+1) =3\cdot2+1 =7.

Passo 4

Como \lim_{x\to2^-}f(x)=0 e \lim_{x\to2^+}f(x)=7 são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{x\to2}f(x) não existe.

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