2^{a} ) Márcio decidiu listar os 10 documentários que ele deseja assistir na próxima semana, sendo que ele assistirá 2 por dia, de segunda a sexta-feira. Eles podem ser vistos em ordem aleatória, exceto o documentário sobre sereias, que tem os segmentos 1 e 2 . Márcio assistirá a ambos no mesmo dia, nessa ordem. O número de maneiras distintas que Márcio pode ver esses documentários de forma que ele assistirá obrigatoriamente aos documentários sobre sereias no mesmo dia é igual a?

Passo 1

O enunciado pede para contar de quantas formas o Márcio pode organizar 10 documentários em 5 dias (2 por dia, ordem importa), com a condição de que os dois segmentos do documentário sobre sereias S_1 e S_2 apareçam no mesmo dia, sempre na ordem S_1 antes de S_2. O conteúdo é basicamente permutação de objetos com uma restrição de bloco ordenado.

Passo 2

Modelamos a semana como uma sequência de 10 slots numerados de 1 a 10, em que os pares (1,2), (3,4), (5,6), (7,8) e (9,10) correspondem aos dias de segunda a sexta. A restrição “mesmo dia e ordem S_1 S_2” equivale a colocar o bloco (S_1,S_2) em um desses 5 pares de slots, sempre com S_1 no slot ímpar e S_2 no par seguinte.

Passo 3

Para construir cada arranjo válido:
  1. Escolhemos em qual dos 5 dias o bloco (S_1,S_2) ficará: 5 escolhas.
  2. Alocamos os 8 documentários restantes nos 8 slots livres de forma livre: 8! maneiras.
Dessa forma o total é 5 \times 8!

Resposta

5 \times 8! \;=\; 201600

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