Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto1 sin(3x^2 -5x+2)x^2 +x -2. O tema aqui é limites de funções que geram indeterminação do tipo 0/0, e vamos usar a propriedade fundamental de sin(u) perto de zero, que diz que limuto0 sin(u)u=1.

Passo 2

Substituindo x=1 vemos que o numerador fica sin(0)=0 e o denominador fica 1+1-2=0, ou seja, temos uma indeterminação 0/0. Para resolver, vamos expressar o argumento do seno e o denominador em fatores que envolvam a mesma expressão pequena.

Passo 3

Fatoramos o argumento do seno e o denominador: 3x^2 -5x+2=(x-1)(3x-2) e x^2 +x-2=(x-1)(x+2). Definindo u=(x-1)(3x-2), reescrevemos a fração assim:
sin(3x^2 -5x+2)x^2 +x -2=sin(u)ucdot(x-1)(3x-2)(x-1)(x+2)

Passo 4

Como xto1, temos uto0. Logo, limxto1sin(u)u=1 e o restante fica
limxto13x-2x+2=3cdot1-21+2=13

Resposta

tfrac13

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