Questão 2

Resolver a equação diferencial seguinte em ] 0,+infty[ :
(x e^y / x+x) y^prime=e^y / x(x+y)+2 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial em ]0,+∞[:
l(xe^y/x+xr)y'=e^y/x(x+y)+2x+2y
Estamos no tópico de equações de 1ª ordem que admitem substituição homogênea (ou por variáveis separáveis depois da substituição). Vamos usar a mudança de variável v=y/x.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por x(e^y/x+1) para isolar y':
y'=e^y/x(x+y)+2(x+y)xl(e^y/x+1r)

Passo 3

Fazendo v=y/x, então y=xv e y'=v+xv'. Substituindo no lado direito:
v+xv'=x(1+v)(e^v+2)x(e^v+1)=(1+v)(e^v+2)e^v+1

Passo 4

Isolamos xv':
xv'=(1+v)(e^v+2)e^v+1-v=e^v+2+v(e^v+2)-v(e^v+1)e^v+1=e^v+v+2e^v+1
Logo a equação fica separável:
e^v+1e^v+v+2,dv=dxx

Passo 5

Notamos que se fizermos u=e^v+v+2 então du=(e^v+1)dv. Assim
integrale^v+1e^v+v+2,dv=integralduu=ln|u|+C=lnl(e^v+v+2r)+C

Passo 6

Voltando às variáveis originais, obtemos
lnl(e^y/x+tfrac yx+2r)=ln x+Cimplies e^y/x+ yx+2=C'x,
com C'=e^C constante arbitrária.

Passo 7

A solução geral implícita da equação diferencial é
e^y/x+ yx+2=Cx,
onde C é constante real.

Resposta

e^y/x+tfrac yx+2=Cx, com C constante arbitária.

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