Questão 3

Resolver a equação .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial 4x^3e^x+y+x^4e^x+y+2x+l(x^4e^x+y+2yr)y'=0. Esse tipo de equação entra na categoria de equações exatas. Para resolver, vamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y), verificar exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=4x^3e^x+y+x^4e^x+y+2x e N(x,y)=x^4e^x+y+2y. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4x^3e^x+y+x^4e^x+y,
partial Npartial x=4x^3e^x+y+x^4e^x+y.

Passo 3

Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata e existe F(x,y) tal que Fx=M e Fy=N.

Passo 4

Para encontrar F(x,y), integramos M em relação a x:
F(x,y)=integrall(4x^3e^x+y+x^4e^x+y+2xr),dx=x^4e^x+y+x^2+h(y)

Passo 5

Agora usamos Fy=N. Calculamos Fy a partir de F(x,y)=x^4e^x+y+x^2+h(y):
Fy=x^4e^x+y+h'(y)

Passo 6

Igualando a N(x,y):
x^4e^x+y+h'(y)=x^4e^x+y+2y

Passo 7

Segue que h'(y)=2y e, integrando, h(y)=y^2 (constante absorvida em C).
Logo a função potencial é
F(x,y)=x^4e^x+y+x^2+y^2

Passo 8

e a solução geral implícita vem de F(x,y)=C, com C constante.

Resposta

A solução implícita é
x^4e^x+y+x^2+y^2=C,
com C constante.

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