Questão 3
Resolver a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação entra na categoria de equações exatas. Para resolver, vamos identificar as funções
e
, verificar exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
,
.
Passo 3
Como
, a equação é exata e existe
tal que
e
.
Passo 4
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Passo 5
Agora usamos
. Calculamos
a partir de
:
Passo 6
Igualando a
:
Passo 7
Segue que
e, integrando,
(constante absorvida em
).
Logo a função potencial é
Logo a função potencial é
Passo 8
e a solução geral implícita vem de
, com
constante.
Resposta
A solução implícita é
com