Determine a imagem das funções
f(x)=x^2+4x, x in(-infty, 0)

Passo 1

A função dada é f(x)=x^2+4x no domínio x<0. O objetivo é encontrar a imagem (conjunto-valor) dessa função, ou seja, todos os valores de y=f(x) quando x percorre (-infty,0). Vamos usar cálculo diferencial e analisar os limites nas extremidades do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais simples:
f(x)=x^2+4x=x+4x

Passo 3

Agora calculamos a derivada para achar pontos críticos:
f'(x)=1-4x^2

Passo 4

Igualando a zero para identificar extremos:
1-4x^2=0Longrightarrow x^2=4Longrightarrow x=-2(já que x<0)á

Passo 5

Vamos verificar o tipo de extremo usando a segunda derivada:
f''(x)=8x^3 Como x=-2 é negativo, f''(-2)=tfrac8(-2)^3=tfrac8-8=-1<0, logo é um máximo local.

Passo 6

Calculamos o valor máximo:
f(-2)=-2+4-2=-2-2=-4

Passo 7

Por fim, analisamos os limites nas bordas do domínio: Quando xto0^-, 4/xto-infty e xto0, então f(x)to-infty. Quando xto-infty, o termo x domina e 4/xto0, logo f(x)to-infty.

Passo 8

Juntando tudo, a função atinge um máximo -4 em x=-2 e decresce para -infty nas extremidades do domínio.

Resposta

A imagem de f em (-infty,0) é ((-
fty,-4]).

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