Determine a imagem das funções
Passo 1
A função dada é
no domínio
. O objetivo é encontrar a imagem (conjunto-valor) dessa função, ou seja, todos os valores de
quando
percorre
. Vamos usar cálculo diferencial e analisar os limites nas extremidades do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais simples:
Passo 3
Agora calculamos a derivada para achar pontos críticos:
Passo 4
Igualando a zero para identificar extremos:
Passo 5
Vamos verificar o tipo de extremo usando a segunda derivada:
Passo 6
Calculamos o valor máximo:
Passo 7
Por fim, analisamos os limites nas bordas do domínio: Quando
,
e
, então
. Quando
, o termo
domina e
, logo
.
Passo 8
Juntando tudo, a função atinge um máximo
em
e decresce para
nas extremidades do domínio.
Resposta
A imagem de
em
é ((-
fty,-4]).