Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
quando x→+∞ de raizx^2+1-raizx^4+1. O conteúdo principal é limites
que apresentam a forma indeterminada ∞-∞, e para resolver
vamos precisar usar o truque de racionalização combinando
com fatores dominantes de x.

Passo 2

Para eliminar a indeterminação ∞-∞, multiplicamos
a expressão pela sua conjugada. Assim:

Passo 3

[
\sqrt{x{2}+1}-\sqrt{x{4}+1}
=\frac{(\sqrt{x{2}+1}-\sqrt{x{4}+1})(\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1})}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}
=\frac{x{2}+1-(x{4}+1)}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}

Passo 4

O numerador simplifica para
x^2+1-x^4-1=-(x^4-x^2)= -x^2(x^2-1).
Dividimos numerador e denominador por x^2:
[
\frac{-x{2}(x{2}-1)}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}
=\frac{-(x{2}-1)}{\dfrac{\sqrt{x{2}+1}}{x{2}}+\dfrac{\sqrt{x{4}+1}}{x^{2}}}
=\frac{-(x{2}-1)}{\dfrac{\sqrt{1+1/x{2}}}{x}+\sqrt{1+1/x^{4}}}

Passo 5

Quando x→+∞ temos
raiz1+1/x^2→1,
raiz1+1/x^4→1 e
raiz1+1/x^2/x→0.
Logo o denominador tende a 1 e o numerador
-(x^2-1) tende a -∞.

Passo 6

Portanto o limite da expressão original é
-∞, pois a parte negativa cresce sem limite
enquanto o denominador tende a um valor finito positivo.

Resposta

-\infty

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