Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
quando x→+∞ de . O conteúdo principal é limites
que apresentam a forma indeterminada , e para resolver
vamos precisar usar o truque de racionalização combinando
com fatores dominantes de x.
quando x→+∞ de
que apresentam a forma indeterminada
vamos precisar usar o truque de racionalização combinando
com fatores dominantes de x.
Passo 2
Para eliminar a indeterminação
, multiplicamos
a expressão pela sua conjugada. Assim:
a expressão pela sua conjugada. Assim:
Passo 3
[
\sqrt{x{2}+1}-\sqrt{x{4}+1}
=\frac{(\sqrt{x{2}+1}-\sqrt{x{4}+1})(\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1})}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}
=\frac{x{2}+1-(x{4}+1)}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}
\sqrt{x{2}+1}-\sqrt{x{4}+1}
=\frac{(\sqrt{x{2}+1}-\sqrt{x{4}+1})(\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1})}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}
=\frac{x{2}+1-(x{4}+1)}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}
Passo 4
O numerador simplifica para
.
Dividimos numerador e denominador por :
Dividimos numerador e denominador por
[
\frac{-x{2}(x{2}-1)}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}
=\frac{-(x{2}-1)}{\dfrac{\sqrt{x{2}+1}}{x{2}}+\dfrac{\sqrt{x{4}+1}}{x^{2}}}
=\frac{-(x{2}-1)}{\dfrac{\sqrt{1+1/x{2}}}{x}+\sqrt{1+1/x^{4}}}
\frac{-x{2}(x{2}-1)}{\sqrt{x{2}+1}+\sqrt{x{4}+1}}
=\frac{-(x{2}-1)}{\dfrac{\sqrt{x{2}+1}}{x{2}}+\dfrac{\sqrt{x{4}+1}}{x^{2}}}
=\frac{-(x{2}-1)}{\dfrac{\sqrt{1+1/x{2}}}{x}+\sqrt{1+1/x^{4}}}
Passo 5
Quando x→+∞ temos
,
e
.
Logo o denominador tende a 1 e o numerador
tende a
.
Logo o denominador tende a 1 e o numerador
Passo 6
Portanto o limite da expressão original é
, pois a parte negativa cresce sem limite
enquanto o denominador tende a um valor finito positivo.
enquanto o denominador tende a um valor finito positivo.
Resposta
-\infty