Questão 3
a. Verificar que para todo
.
b. Estudar a convergencia da série
.
c. Estudar a convergencia da série
. (Dica : voce pode tentar comparar com a série
.)
b. Estudar a convergencia da série
c. Estudar a convergencia da série
Passo 1
O enunciado tem três itens: (a) é uma verificação de identidade envolvendo logaritmos, usando a propriedade
; (b) pede o estudo de convergência da série
, para a qual vamos usar o termo geral e o teste da condição necessária de convergência; © pede o estudo de convergência da série
, usando comparação assintótica com
.
Passo 2
Começando pelo item (a), escrevemos
Passo 3
Em seguida usamos
para obter
Passo 4
Confrontando com a identidade dada
, vemos que
logo a igualdade proposta não se verifica para todo
Passo 5
Para o item (b), note que
então para
Passo 6
Como
, isso faz
, de modo que nem sequer
. Pela condição necessária de convergência, a série diverge.
Passo 7
Para o item ©, observamos
Passo 8
Sabendo que
diverge se
e aqui
, concluímos que a série de
também diverge.
Resposta
a) A identidade dada não se verifica para todo
. b) A série diverge, pois o termo geral não tende a zero. c) A série diverge, pois é comparável a
com
.