Questão 3

a. Verificar que para todo sumn=1 1n^ln 2.
b. Estudar a convergencia da série .
c. Estudar a convergencia da série . (Dica : voce pode tentar comparar com a série .)

Passo 1

O enunciado tem três itens: (a) é uma verificação de identidade envolvendo logaritmos, usando a propriedade ln(tfracAB)=ln A - ln B; (b) pede o estudo de convergência da série sumn=1^inftyl(tfrac3n+5n+9r)^ln n, para a qual vamos usar o termo geral e o teste da condição necessária de convergência; © pede o estudo de convergência da série sumn=1^inftyl(tfracn+32n+9r)^ln n, usando comparação assintótica com n^-ln 2.

Passo 2

Começando pelo item (a), escrevemos
lnl(n+32n+9r)=ln(n+3)-ln(2n+9)

Passo 3

Em seguida usamos ln(2n+9)=ln2+ln(n+9/2) para obter
lnl(n+32n+9r)=ln(n+3)-l(ln2+ln(n+9/2)r)=-ln2+lnl(n+3n+9/2r)

Passo 4

Confrontando com a identidade dada -ln2+ln(tfrac3n+3), vemos que
lnl(n+3n+9/2r)neqlnl(3n+3r)(para >=nérico n),é
logo a igualdade proposta não se verifica para todo nin N.

Passo 5

Para o item (b), note que
limntoinfty3n+5n+9=3,
então para an=l(tfrac3n+5n+9r)^ln n temos, heurísticamente,

Passo 6

Como ln3>0, isso faz antoinfty, de modo que nem sequer anto0. Pela condição necessária de convergência, a série diverge.

Passo 7

Para o item ©, observamos
limntoinftyn+32n+9=12,e definimos bn=l(tfracn+32n+9r)^ln n. Então
bnsiml(tfrac12r)^ln n=e^ln(1/2),ln n=n^-ln2

Passo 8

Sabendo que sum n^-p diverge se p<=1 e aqui p=ln2approx0,693<1, concluímos que a série de bn também diverge.

Resposta

a) A identidade dada não se verifica para todo n. b) A série diverge, pois o termo geral não tende a zero. c) A série diverge, pois é comparável a sum n^-ln2 com ln2<1.

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