Questão 2
Seja
uma sequência tal que
. Prove que
é convergente.
Passo 1
Temos a sequência
com
e queremos mostrar que a série
converge. Vamos usar conceitos de sequência limitada, séries p e teste de comparação.
Passo 2
Como
converge, ela é limitada. Logo, existe um número
tal que
para todo
.
Dividindo por , obtemos
Dividindo por
Passo 3
Sabemos que a série p com
p=2 , ou seja,
converge (é o famoso resultado
pi^2/6 ). Então
converge também.
Passo 4
Pelo teste da comparação absoluta, como
converge, a série original
converge absolutamente e, portanto, converge.
converge, a série original
converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série converge absolutamente por comparação com a série p de ordem 2, logo
sumn=1^infty unn^2 é convergente.