Questão 2

Seja lim n +infty un=0 uma sequência tal que sumn=1 unn^2. Prove que é convergente.

Passo 1

Temos a sequência (un)ninN com limnto+inftyun=0 e queremos mostrar que a série sumn=1^infty unn^2 converge. Vamos usar conceitos de sequência limitada, séries p e teste de comparação.

Passo 2

Como (un) converge, ela é limitada. Logo, existe um número M>0 tal que |un|<= M para todo ninN.
Dividindo por n^2>0, obtemos
|unn^2|<=Mn^2

Passo 3

Sabemos que a série p com p=2, ou seja,
sumn=1^infty1n^2,
converge (é o famoso resultado pi^2/6). Então
sumn=1^inftyMn^2=Msumn=1^infty1n^2
converge também.

Passo 4

Pelo teste da comparação absoluta, como

converge, a série original

converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente por comparação com a série p de ordem 2, logo sumn=1^infty unn^2 é convergente.

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