Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

O enunciado pede calcular limxto -inftyl(raizx^2+9+x+3r). É um limite que envolve radiciação e comportamento assintótico de funções para infinito; vamos precisar entender como raizx^2+9 se comporta quando x é muito negativo.

Passo 2

Quando xto -infty, temos |x|=-x. Logo,
raizx^2+9=raizx^2raiz1+tfrac9x^2=|x|raiz1+tfrac9x^2=-xraiz1+tfrac9x^2
Como raiz1+9/x^2to1, segue-se que raizx^2+9sim -x, dando a ideia de que o limite seria -x+x+3=3. Para garantir rigor, vamos racionalizar.

Passo 3

Racionalizando o termo raizx^2+9+x pelo seu conjugado temos:
raizx^2+9+x =(raizx^2+9+x)(raizx^2+9-x)raizx^2+9-x =x^2+9-x^2raizx^2+9-x =9raizx^2+9-x
Substituindo de volta, o limite fica
limxto -inftyl(raizx^2+9+x+3r) =limxto -infty(9raizx^2+9-x+3)

Passo 4

Para xto -infty, notamos que
raizx^2+9-x=-xraiz1+tfrac9x^2-x=-xl(raiz1+tfrac9x^2+1r)to+infty,
logo a fração 9/(raizx^2+9-x) tende a zero. Assim o limite vale 0+3=3.

Resposta

3

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