Usando o teste de comparação, estudar a convergência da série sumn=1 (sen n)^44^n.

Passo 1

Começamos resumindo o enunciado: a série em estudo é
sumn=1^infty (sin n)^44^n
O conteúdo principal é séries numéricas e o teste de comparação direta, e vamos usar que o seno é limitado.

Passo 2

Observamos que para todo número real n vale
-1 <= sin n <= 1
e, portanto,
0 <= (sin n)^4 <= 1
Assim, cada termo da nossa série satisfaz
0 <= (sin n)^44^n <= 14^n

Passo 3

Agora analisamos a série comparadora
sumn=1^infty 14^n
que é uma série geométrica com razão q = tfrac14. Como |q|<1, essa série converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação direta, se 0 <= an <= bn para todo n e sum bn converge, então sum an também converge. Aplicando isso aos termos
an = (sin n)^44^n e
bn = 14^n, concluímos que nossa série original converge.

Resposta

A série converge (por comparação com uma série geométrica de razão tfrac14).

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