Usando o teste de comparação, estudar a convergência da série
.
Passo 1
Começamos resumindo o enunciado: a série em estudo é
O conteúdo principal é séries numéricas e o teste de comparação direta, e vamos usar que o seno é limitado.
Passo 2
Observamos que para todo número real
vale
e, portanto,
Assim, cada termo da nossa série satisfaz
Passo 3
Agora analisamos a série comparadora
que é uma série geométrica com razão
. Como
, essa série converge.
Passo 4
Pelo teste de comparação direta, se
para todo
e
converge, então
também converge. Aplicando isso aos termos
e
, concluímos que nossa série original converge.
Resposta
A série converge (por comparação com uma série geométrica de razão
).