Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+infty raizxcos x + 2x^2sinl(1/xr)x - raiz1 + x^2
O conteúdo principal é usar expansões assintóticas (série de Taylor) para sin(1/x) e para raiz1 + x^2.

Passo 2

Vamos primeiro aproximar sin(1/x) para x grande. Como 1/xto0, usamos
sinl(1/xr) = 1x - 16x^3 + ol(x^-3r)
Multiplicando por 2x^2 a parte relevante do numerador fica
2x^2sinl(1/xr) = 2x^2l(1x - 16x^3 + o(x^-3)r) = 2x - 13x + ol(x^-1r)
Logo o numerador é
raizxcos x + 2x^2sinl(1/xr) = raizxcos x + 2x - 13x + ol(x^-1r)

Passo 3

Agora aproximamos o denominador:
raiz1 + x^2 = xraiz1 + tfrac1x^2 = xl(1 + 12x^2 + o(x^-2)r) = x + 12x + ol(x^-1r)
Então
x - raiz1 + x^2 = x - l(x + 12x + o(x^-1)r) = -12x + ol(x^-1r)

Passo 4

Com essas expansões, o quociente fica
raizxcos x + 2x - tfrac13x + o(x^-1)-tfrac12x + o(x^-1) = (2x + raizxcos x + o(1))timesl(-2x + o(x)r)
O termo dominante é
2x times (-2x) = -4x^2,
que tende a -infty quando xto+infty.

Passo 5

Como o termo principal do numerador cresce como +2x enquanto o denominador tende a zero pelo lado negativo ( -1/(2x)), o quociente diverge para -infty.

Resposta

-\infty

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