1. (2 pts) Considere a função h: \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R} dada por
h(x)=\left|3-\frac{1}{x-2}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a função h:\mathbb{R}-\{2\}\to\mathbb{R} definida por
h(x)=\left|3-\frac{1}{x-2}\right|.
Vou trabalhar uma análise completa e típica desse tipo de exercício. As perguntas que vou responder são:
  • Qual é o domínio da função?
  • Onde a função é contínua? Que tipo de descontinuidade ocorre em x=2?
  • Quais são os limites quando x\to2^- e x\to2^+ (ou seja, o comportamento perto da descontinuidade)?
  • Quais são os limites quando x\to+\infty e x\to-\infty (comportamento no infinito) e há assíntotas horizontais?
  • Qual é a imagem (conjunto de valores) da função h (ou seja, qual é o contradomínio efetivamente atingido)?

Passo 2

Determinar o domínio.
  • Observação: a expressão \dfrac{1}{x-2} exige x-2\neq0, portanto x\neq2.
  • Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{2\}.
Explicação rápida (didática): sempre que aparece divisão por x-2 devemos excluir o ponto que anula o denominador. Não há outras restrições (o valor absoluto aceita qualquer número real).

Passo 3

Continuidade da função nos pontos do domínio.
  • Lembrando: composições de funções contínuas são contínuas. A função x\mapsto x-2 é contínua em \mathbb{R}\setminus\{2\}, a função t\mapsto 1/t é contínua em t\neq0 e o valor absoluto u\mapsto|u| é contínuo em todo \mathbb{R}.
  • Como a função é composição x\mapsto x-2 \mapsto 1/(x-2) \mapsto 3-(1/(x-2)) \mapsto |\cdot|, e em todo ponto do domínio x\neq2 todas as etapas são válidas e contínuas, concluímos que h é contínua em todo x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}.
Explicação didática: na prova, basta dizer que a única possível descontinuidade vem de onde o denominador é zero; fora disso, tudo é contínuo.

Passo 4

Comportamento perto de x=2: limites laterais e classificação da descontinuidade.
Vamos estudar \displaystyle\lim_{x\to2^+} h(x) e \displaystyle\lim_{x\to2^-} h(x).
  • Faça a substituição t=x-2. Quando x\to2^+ temos t\to0^+; quando x\to2^- temos t\to0^-.
  • A parte crítica é \dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{t}. Sabemos que \dfrac{1}{t}\to+\infty\\ \text{quando }t\to0^+,\qquad \dfrac{1}{t}\to-\infty\\ \text{quando }t\to0^-.
  • Agora observe 3-\dfrac{1}{t}:
    • Para t\to0^+: \dfrac{1}{t}\to+\infty então 3-\dfrac{1}{t}\to-\infty.
    • Para t\to0^-: \dfrac{1}{t}\to-\infty então 3-\dfrac{1}{t}\to+\infty.
  • Finalmente aplicamos o valor absoluto |\cdot|:
    • Se a expressão dentro do módulo tende a -\infty ou +\infty, o módulo tende a +\infty.
    • Portanto \lim_{x\to2^+} h(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to2^-} h(x)=+\infty.
Interpretação e classificação: ambos os limites laterais divergem para +\infty, isto é, a função tem uma descontinuidade do tipo infinita em x=2. Isso corresponde a uma assíntota vertical na reta x=2.

Passo 5

Limites quando x\to\pm\infty e assíntota horizontal.
Calcule \lim_{x\to\pm\infty} h(x).
  • Para x\to\pm\infty temos \dfrac{1}{x-2}\to0.
  • Logo 3-\dfrac{1}{x-2}\to3.
  • Aplicando o valor absoluto, \left|3-\dfrac{1}{x-2}\right|\to|3|=3.
Portanto
\lim_{x\to+\infty} h(x)=3,\qquad \lim_{x\to-\infty} h(x)=3.
Conclusão: existe uma assíntota horizontal y=3.
Comentário didático: para encontrar assíntota horizontal, calcular o limite da função quando x vai para infinito; se der um número finito L, então y=L é assíntota horizontal.

Passo 6

Determinar a imagem (conjunto de valores) de h.
Queremos saber quais valores y\in\mathbb{R} são atingidos por h(x) quando x percorre \mathbb{R}\setminus\{2\}.
  • Observação óbvia: por definição de valor absoluto, h(x)\ge0 para todo x. Então a imagem está contida em [0,\infty).
  • Agora provamos que todo y\ge0 é realmente atingido. Para dado y\ge0 escolha x = 2 + \frac{1}{3+y}.Verificação: \frac{1}{x-2}=\frac{1}{\frac{1}{3+y}}=3+y,então h(x)=\left|3-\frac{1}{x-2}\right|=\left|3-(3+y)\right|=| -y|=y.Note que 3+y>0 para y\ge0, então x\neq2 e está no domínio.
  • Assim, qualquer y\ge0 é valor de h. Portanto a imagem é exatamente [0,\infty).
Explicação didática: a técnica usada foi parâmetro inverso — para qualquer valor desejado y construir explicitamente um x que produza esse y.

Passo 7

Resumo interpretativo (como usar isso na prova).
  • Domínio: procurar denominações que anulam denominador; aqui excluir x=2.
  • Continuidade: fora do ponto excluído, composições de funções contínuas dão continuidade.
  • Perto de x=2: estudar 1/(x-2) que explode; analisar sinais com limites laterais e aplicar valor absoluto para ver se ambos os lados vão para +\infty.
  • No infinito: \dfrac{1}{x-2}\to0, então a função tende a |3|=3, que é assíntota horizontal.
  • Imagem: mostrar que não pode ser negativo (por valor absoluto) e construir inversa explícita para cada y\ge0.
Dica prática para prova: em funções do tipo \left|a-\dfrac{1}{x-b}\right| os passos são sempre esses: excluir x=b; estudar \dfrac{1}{x-b} perto de b e no infinito; então aplicar o módulo e deduzir limites e imagem.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{2\}
A função é contínua em todo \mathbb{R}\setminus\{2\} e tem descontinuidade infinita em x=2 (assíntota vertical x=2).
\displaystyle\lim_{x\to2^-}h(x)=+\infty,\quad \displaystyle\lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=3,\quad \displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x)=3 (assíntota horizontal y=3).
Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty).

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