Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:
lim (x, y) (0,0) x^3+y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim(x,y)to(0,0)x^3+y^2x^2+y^2,
ou seja, é um limite em duas variáveis de uma função racional. Para existir, o valor do limite deve ser o mesmo em toda direção de aproximação de (0,0).

Passo 2

Vamos aproximar por retas do tipo y=mx com m constante. Substituindo:
x^3+(mx)^2x^2+(mx)^2 =x^3+m^2x^2x^2(1+m^2) =x+m^21+m^2
Tomando xto0, obtemos
limxto0x+m^21+m^2 =m^21+m^2

Passo 3

O resultado tfracm^21+m^2 depende de m. Por exemplo:
  • Para m=0 tfrac01=0.
  • Para m=1 tfrac12.
Como há diferentes valores conforme a direção, não existe valor único do limite.

Resposta

O limite não existe.

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