Determine a equação da reta que tangencia a elipse de equação x^2+2 y^2=3 no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à elipse de equação
x^2+2y^2=3
no ponto (1,1).
Conteúdo: derivação implícita para encontrar o coeficiente angular da tangente a uma curva dada por uma relação F(x,y)=0 e, em seguida, uso da forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Aplicamos derivação implícita em
x^2+2y^2=3
em relação a x. Derivando cada termo:
  • ddx(x^2) = 2x,
  • ddx(2y^2) = 4y,dydx,
  • ddx(3)=0.
    Logo,
2x + 4y,y' = 0,
onde y'=dydx.

Passo 3

Isolamos y':
4y,y' = -2x Longrightarrow y' = -2x4y = -x2y
No ponto (1,1),
m = y'l|(1,1) = -12cdot 1 = -tfrac12

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0 = m,(x - x0),
com (x0,y0)=(1,1) e m=-tfrac12. Então
y - 1 = -tfrac12,(x - 1)
Multiplicando por 2 e reorganizando:
2y - 2 = -x + 1 Longrightarrow x + 2y - 3 = 0

Resposta

A equação da reta tangente é
x + 2y - 3 = 0

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