Seja f(x, y)=e^x y uma função de duas variáveis.
Determine o domínio e a imagem de f

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=e^xy
Aqui vamos usar o fato de que a função exponencial e^t está definida para todo tinR e que seus valores são sempre positivos.

Passo 2

Para achar o domínio de f, lembramos que o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão e^xy faz sentido. Como xy é um número real para quaisquer x,yinR e e^t está definido para todo tinR, concluímos que
Dom(f)=R^2

Passo 3

Para a imagem de f, observamos que, para todo (x,y),
f(x,y)=e^xy>0
Logo Im(f)subseteq(0,infty). Agora, dado um valor arbitrário c>0, basta resolver
e^xy=c Long<=ftrightarrow xy=ln(c)
Por exemplo, tomando x=1 e y=ln(c) vemos que existe sempre um par (x,y) que produz e^xy=c. Assim
Im(f)=(0,infty)

Resposta

Domínio: R^2
Imagem: (0,infty)

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