Calcule os seguintes limites, caso existam.
lim t 2 t^3+4 t^2+4 t(t+2)(t-3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limtto 2 dfract^3+4t^2+4t(t+2)(t-3). Isso é um exercício de limites de funções racionais. Para resolver, vamos usar que funções racionais são contínuas em todo ponto em que o denominador não é zero, permitindo a substituição direta quando não há forma indeterminada.

Passo 2

Vamos checar o denominador em t=2. Calculamos:

Passo 3

(t+2)(t-3)|t=2 = (2+2)(2-3) = 4 cdot (-1) = -4 neq 0
Como o denominador não zera, não há forma indeterminada e podemos aplicar a regra da substituição direta para funções contínuas.

Passo 4

Agora substituímos diretamente no numerador e denominador. Primeiro, o numerador:

Passo 5

2^3 + 4cdot2^2 + 4cdot2 = 8 + 16 + 8 = 32
O denominador já vimos que é -4. Portanto, o limite é:

Passo 6

32-4 = -8

Resposta

-8

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