Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função f: D subset R R, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
O limite de f em x0 existe se, e somente se os limites laterais de f em x0 existem e são iguais.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma função f: DsubsetRtoR e um ponto x0in D, vale a equivalência
limxto x0f(x)=L iff l(limxto x0^-f(x) e limxto x0^+f(x) existem e são iguais a Lr) ã
Para responder, vamos usar a definição de limite (via sequências ou varepsilon de<a) e de limites laterais, além da noção de ponto de acumulação de D.

Passo 2

Direção “ limxto x0f(x)=Limplieslimxto x0^-f(x)=limxto x0^+f(x)=L”.
Suponha limxto x0f(x)=L. Então para toda sequência (xn)subset Dsetminusx0 com xnto x0 vale f(xn)to L. Em particular, se escolhêssemos (xn) com xn<x0 teríamos limxto x0^-f(x)=L, e se escolhessemos (xn) com xn>x0 obteríamos limxto x0^+f(x)=L. Logo, ambos os limites laterais existem e coincidem em L.

Passo 3

Direção “ limxto x0^-f(x)=limxto x0^+f(x)=Limplieslimxto x0f(x)=L”.
Suponha que os dois limites laterais existam e valham L. Tome qualquer sequência (xn)subset Dsetminusx0 com xnto x0. Cada xn está ou à esquerda ou à direita de x0, então em ambos os casos f(xn)to L. Assim limxto x0f(x)=L.

Passo 4

O ponto decisivo é que, para fazermos esses argumentos, precisamos que seja ponto de acumulação de \text{}por ambos os lados\text{''}, ou seja, haja pontos de \(D\) arbitrariamente próximos de \(x_{0}\) à esquerda e à direita. Se \(D\) não tiver um destes lados, o respectivo limite lateral não está definido (não há pontos para aproximar), embora o limite \text{}geral'' possa existir. Exemplo:
Defina por . Então
mas não existe, pois não há em . A equivalência falha nesse caso.

Resposta

A afirmação, sem exigir que x0 seja ponto de acumulação interior de D, é falsa. Ela só é verdadeira quando x0 admite aproximação em D por ambos os lados.

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