Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função
, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
O limite de
em
existe se, e somente se os limites laterais de
em
existem e são iguais.
O limite de
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma função
e um ponto
, vale a equivalência
Para responder, vamos usar a definição de limite (via sequências ou
–
) e de limites laterais, além da noção de ponto de acumulação de
.
Passo 2
Direção “
”.
Suponha . Então para toda sequência
com
vale
. Em particular, se escolhêssemos
com
teríamos
, e se escolhessemos
com
obteríamos
. Logo, ambos os limites laterais existem e coincidem em
.
Suponha
Passo 3
Direção “
”.
Suponha que os dois limites laterais existam e valham . Tome qualquer sequência
com
. Cada
está ou à esquerda ou à direita de
, então em ambos os casos
. Assim
.
Suponha que os dois limites laterais existam e valham
Passo 4
O ponto decisivo é que, para fazermos esses argumentos, precisamos que
seja ponto de acumulação de
\text{
Defina por
. Então
}por ambos os lados\text{''}, ou seja, haja pontos de \(D\) arbitrariamente próximos de \(x_{0}\) à esquerda e à direita. Se \(D\) não tiver um destes lados, o respectivo limite lateral não está definido (não há pontos para aproximar), embora o limite \text{
}geral'' possa existir. Exemplo:Defina
mas
não existe, pois não há
em
. A equivalência falha nesse caso.
Resposta
A afirmação, sem exigir que
seja ponto de acumulação interior de
, é falsa. Ela só é verdadeira quando
admite aproximação em
por ambos os lados.