Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
r(t)=(t sen t, t cos t) para t in[0, pi]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
vec r(t)=(t,sent,;tcos t) para tin[0,pi].
O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curvas no plano, usando a fórmula
L=integrala^b|vec r,'(t)|,dt

Passo 2

Vamos calcular a derivada vec r,'(t).
Como
x(t)=t,sent, y(t)=tcos t,
temos
x'(t)=sent + tcos t, y'(t)=cos t - tsent

Passo 3

Agora calculamos o quadrado da norma:
|vec r,'(t)|^2 =(sent + tcos t)^2+(cos t - tsent)^2
Desenvolvendo e somando, os termos mistos se cancelam e sobra
|vec r,'(t)|^2 = sen^2t + cos^2t + t^2(cos^2t + sen^2t) =1 + t^2
Logo
|vec r,'(t)|=raiz1+t^2

Passo 4

O comprimento de arco é
L = integral0^piraiz1+t^2,dt

Passo 5

Para integrar integralraiz1+t^2,dt, usamos a primitiv a
F(t) =t2raiz1+t^2 +12lnl(t+raiz1+t^2r)

Passo 6

Avaliam-se os limites:
L = F(pi)-F(0) =l[pi2raiz1+pi^2 +12lnl(pi+raiz1+pi^2r)r] -l[0+12ln(1)r]
Como ln(1)=0, temos

Resposta

L =pi2raiz1+pi^2 +12lnl(pi+raiz1+pi^2r)

Exercícios relacionados