Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função f: D subset R R, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se f é uma função racional e x0 é uma raiz do denominador de f, então os limites laterais de f em x0 são infinitos.

Passo 1

O enunciado considera uma função racional f:,DsubsetRtoR e um ponto x0 em que o denominador de f zera. Pergunta se, sempre que isso ocorre, os limites laterais
limxto x0^-f(x) e limxto x0^+f(x) são infinitos.

Passo 2

Uma função racional tem a forma
f(x)=p(x)q(x),
onde p e q são polinômios. Se q(x0)=0 e p(x0)neq0, então próximo de x0 o denominador fica muito pequeno e de fato f(x)topminfty. Mas se p(x0)=0 com igual ou maior multiplicidade que q(x0), o fator (x-x0) se cancela, a descontinuidade é removível e o limite pode ser um número finito.

Passo 3

Para ver isso, considere o contraexemplo
f(x)=x-1,x-1,, D=Rsetminus1
Aqui o denominador zera em x0=1, mas para todo xneq1 temos f(x)=1. Logo
limxto1^-f(x)=1 e limxto1^+f(x)=1,
que são finitos e não infinitos.

Passo 4

Como existe pelo menos um caso em que q(x0)=0 mas as laterais não são infinitas, a afirmação geral é falsa.

Resposta

Falsa.

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