Use a transformada de Laplace para encontrar a solução y(t) do problema dado.
y^prime prime+6 y^prime+25 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=3;

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + 6y' + 25y = 0,
com condições iniciais
y(0)=2, y'(0)=3
O conteúdo usado será a transformada de Laplace para converter a EDO em uma equação algébrica em s, aplicar as condições iniciais e depois inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO. Usando
Ly''(t) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly'(t) = s,Y(s) - y(0),
Ly(t) = Y(s),
obtemos
l(s^2Y(s) - scdot2 - 3r) +6l(sY(s) - 2r) +25,Y(s) = 0

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os demais, vem
Y(s),(s^2 + 6s + 25) -2s -3 -12 = 0 ;Longrightarrow; Y(s)(s^2 + 6s + 25) = 2s + 15
Longrightarrow Y(s) = 2s + 15s^2 + 6s + 25

Passo 4

Escrevemos o denominador em forma de quadrado completo:
s^2 + 6s + 25 = (s+3)^2 + 16
Reescrevendo o numerador como 2s+15 = 2(s+3) + 9, temos
Y(s) = 2(s+3)(s+3)^2 + 4^2 ;+; 9(s+3)^2 + 4^2

Passo 5

Invertemos a transformada usando as fórmulas conhecidas
L^-1!ls-a(s-a)^2 + b^2r = e^atcos(bt),
L^-1!lb(s-a)^2 + b^2r = e^atsin(bt)
Aqui a=-3 e b=4. Logo
y(t) =2,e^-3tcos(4t) +94,e^-3tsin(4t)

Resposta

y(t)=2,e^-3tcos(4t)+dfrac94,e^-3tsin(4t)

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