Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
Enunciado: calcular
, onde
.
O que é pedido: encontrar o valor do limite acima para cada ponto
(ou dizer que o limite não existe), ou seja, determinar a derivada de
pelo limite do quociente incremental.
Informações dadas: a função é
. Lembre que
é sempre um número não negativo e que
.
Passo 2
Conceitos necessários (explicados de forma simples):
- A expressão
Por isso é natural separar os casos onde
e
.]
Passo 3
Caso
.
Argumento: se
, então podemos escolher
suficientemente pequeno em magnitude (por exemplo
) para garantir que
. Assim, para esses
usamos a expressão
e
.
Cálculo:
para todo
pequeno não nulo. Portanto, o limite quando
é
Interpretação: graficamente, à direita de
a função
é exatamente a reta de coeficiente angular
, então a derivada é
.
Passo 4
Caso
.
Argumento: se
, escolhemos
pequeno tal que
(ou seja,
), garantindo
. Para esses
temos
e
.
Cálculo:
para todo
pequeno não nulo. Logo
Interpretação: à esquerda de
a função
coincide com a reta
, de coeficiente angular
, então a derivada é
.
Passo 5
Caso
.
Precisamos checar os limites laterais:
- Aproximação pela direita (
, ou seja ):
logo
.
- Aproximação pela esquerda (
, ou seja ):
logo
.
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite total quando
não existe. Portanto a derivada em
não existe.
Intuição: em
a função tem um “canto” (cusp), não há uma única reta tangente — por isso a derivada não existe ali.
Resposta
Para