Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=|x|;

Passo 1

Enunciado: calcular \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=|x|.
O que é pedido: encontrar o valor do limite acima para cada ponto x (ou dizer que o limite não existe), ou seja, determinar a derivada de f pelo limite do quociente incremental.
Informações dadas: a função é f(x)=|x|. Lembre que |x| é sempre um número não negativo e que |0|=0.

Passo 2

Conceitos necessários (explicados de forma simples):
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\) é o quociente incremental; o limite quando \(h\to0\) é a definição do derivada de \(f\) em \(x\), se esse limite existir. - Quando um limite depende de como \(h\) se aproxima de 0 (pela direita, \(h>0\), ou pela esquerda, \(h<0\)), às vezes precisamos calcular os limites laterais. Se os dois lados forem iguais, o limite existe e vale esse valor; se forem diferentes, o limite não existe. - A função valor absoluto pode ser escrita de forma piecewise (por partes). Vamos usar essa forma para simplificar o quociente incremental: \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Por isso é natural separar os casos onde x>0\], \(x<0 e x=0.]

Passo 3

Caso x>0.
Argumento: se x>0, então podemos escolher h suficientemente pequeno em magnitude (por exemplo |h|<x) para garantir que x+h>0. Assim, para esses h usamos a expressão |x+h|=x+h e |x|=x.
Cálculo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{|x+h|-|x|}{h}=\frac{(x+h)-x}{h}=\frac{h}{h}=1,
para todo h pequeno não nulo. Portanto, o limite quando h\to0 é
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=1.
Interpretação: graficamente, à direita de 0 a função |x| é exatamente a reta de coeficiente angular 1, então a derivada é 1.

Passo 4

Caso x<0.
Argumento: se x<0, escolhemos h pequeno tal que |h|<-x (ou seja, |h|< -x), garantindo x+h<0. Para esses h temos |x+h|=-(x+h) e |x|=-x.
Cálculo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{|x+h|-|x|}{h}=\frac{-(x+h)-(-x)}{h}=\frac{-x-h+x}{h}=\frac{-h}{h}=-1,
para todo h pequeno não nulo. Logo
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-1.
Interpretação: à esquerda de 0 a função |x| coincide com a reta -x, de coeficiente angular -1, então a derivada é -1.

Passo 5

Caso x=0.
Precisamos checar os limites laterais:
  • Aproximação pela direita ( h\to0^+, ou seja h>0):
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{h}{h}=1,
logo \lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=1.
  • Aproximação pela esquerda ( h\to0^-, ou seja h<0):
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{-h}{h}=-1,
logo \lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=-1.
Como os limites laterais são diferentes ( 1 e -1), o limite total quando h\to0 não existe. Portanto a derivada em x=0 não existe.
Intuição: em 0 a função tem um “canto” (cusp), não há uma única reta tangente — por isso a derivada não existe ali.

Resposta

\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=1, para x>0
\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-1, para x<0
Para x=0: o limite não existe.

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