Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=x^{n}, \forall n \in \mathbb{N};

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
onde foi dada a função f(x)=x^{n} para todo n\in\mathbb{N}. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{n}.
  • O parâmetro n é um número natural ( n\in\mathbb{N}). Observação: pode ocorrer a ambiguidade se 0\in\mathbb{N}; vamos tratar explicitamente o caso n=0 e depois os casos n\ge 1.
  • A variável x é um valor fixo (qualquer real) onde queremos o limite em h\to 0.
    Nada mais será resolvido neste passo — apenas identificamos o pedido e os dados.

Passo 2

Caso especial n=0. Se n=0 então f(x)=x^{0}=1 para todo x. Substituindo na diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1-1}{h}=0.
Portanto o limite para n=0 é
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0.
Isso faz sentido: função constante tem diferença nula.

Passo 3

Agora suponha n\ge 1. Vamos usar o desenvolvimento binomial para expandir (x+h)^{n}. O Teorema Binomial diz que, para n natural,
(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k},
onde o coeficiente binomial é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui cada termo da soma é um produto de uma potência de x e uma potência de h. Isso é útil porque, ao subtrair x^{n}, o termo correspondente a k=0 se cancela.

Passo 4

Aplicando o binomial em f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=(x+h)^{n}-x^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k}-x^{n}.
O termo k=0 da soma é \binom{n}{0}x^{n}h^{0}=x^{n}, que cancela com o -x^{n}. Logo
f(x+h)-f(x)=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k}.

Passo 5

Dividindo por h obtemos a diferença quociente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k-1}.
Separe explicitamente o termo k=1, que não contém h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \binom{n}{1}x^{\,n-1} + \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k-1}.
Como \binom{n}{1}=n, isso fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= n x^{\,n-1} + \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k-1}.

Passo 6

Agora tomamos o limite h\to 0. Note que cada termo da soma para k\ge 2 envolve h^{k-1} com expoente pelo menos 1, ou seja, tem um fator h:
\sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k-1}=h\cdot \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k-2}.
Para h\to 0 esse produto tende a 0 porque a soma interna é um número finito (depende de x e n fixos) e h\to 0. Assim todos os termos com k\ge 2 desaparecem no limite. Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\left(n x^{\,n-1} + \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k-1}\right)=n x^{\,n-1}.

Passo 7

Vamos ver dois exemplos concretos rápidos para fixar:
  • Exemplo n=1: f(x)=x. Temos \frac{(x+h)-x}{h}=1. Logo o limite é 1, que coincide com n x^{n-1}=1\cdot x^{0}=1.
  • Exemplo n=2: f(x)=x^{2}. Expandindo, (x+h)^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}. Dividindo por h 2x+h. Tomando h\to 0 obtemos 2x, que coincide com n x^{n-1}=2x.

Passo 8

Interpretação final: o limite calculado é justamente a derivada de x^{n} no ponto x. Para todo inteiro n\ge 1 o resultado é n x^{n-1}; para n=0 o resultado é 0. Respire fundo — você acaba de ver a razão do famoso resultado da potência com uma demonstração direta e usável em prova.

Resposta

\text{Se }n=0:\;0\n \text{Se }n\ge 1:\;n x^{\,n-1}

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