Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
onde foi dada a função
para todo
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O parâmetro
é um número natural ( ). Observação: pode ocorrer a ambiguidade se ; vamos tratar explicitamente o caso e depois os casos . - A variável
é um valor fixo (qualquer real) onde queremos o limite em .
Nada mais será resolvido neste passo — apenas identificamos o pedido e os dados.
Passo 2
Caso especial
. Se
então
para todo
. Substituindo na diferença:
Portanto o limite para
é
Isso faz sentido: função constante tem diferença nula.
Passo 3
Agora suponha
. Vamos usar o desenvolvimento binomial para expandir
. O Teorema Binomial diz que, para
natural,
onde o coeficiente binomial é
Aqui cada termo da soma é um produto de uma potência de
e uma potência de
. Isso é útil porque, ao subtrair
, o termo correspondente a
se cancela.
Passo 4
Aplicando o binomial em
:
O termo
da soma é
, que cancela com o
. Logo
Passo 5
Dividindo por
obtemos a diferença quociente:
Separe explicitamente o termo
, que não contém
:
Como
, isso fica
Passo 6
Agora tomamos o limite
. Note que cada termo da soma para
envolve
com expoente pelo menos
, ou seja, tem um fator
:
Para
esse produto tende a
porque a soma interna é um número finito (depende de
e
fixos) e
. Assim todos os termos com
desaparecem no limite. Portanto
Passo 7
Vamos ver dois exemplos concretos rápidos para fixar:
- Exemplo
: . Temos . Logo o limite é , que coincide com . - Exemplo
: . Expandindo, . Dividindo por dá . Tomando obtemos , que coincide com .
Passo 8
Interpretação final: o limite calculado é justamente a derivada de
no ponto
. Para todo inteiro
o resultado é
; para
o resultado é
. Respire fundo — você acaba de ver a razão do famoso resultado da potência com uma demonstração direta e usável em prova.