Calcule os seguintes Limites, caso eles existam:
lim x +infty x^3-x^4+2 x-23 x^4-2 x^3+2 x^2-x-2

Passo 1

A questão pede para calcular o limite
limxto+inftyx^3-x^4+2x-23x^4-2x^3+2x^2-x-2
Trata-se de limite de uma função racional no infinito. Vamos usar o fato de que, para polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento.

Passo 2

Em teoria, quando temos
limxto+inftyP(x)Q(x),
com P e Q polinômios, podemos comparar os graus. Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Aqui o numerador e o denominador têm grau 4. Para ver isso de forma sistemática, dividimos cada termo por x^4:
x^3-x^4+2x-23x^4-2x^3+2x^2-x-2 =-1 + 1x + 2x^3 - 2x^43 - 2x + 2x^2 - 1x^3 - 2x^4

Passo 3

À medida que xto+infty, todos os termos com 1/x^k vão para zero. Logo o numerador converge para -1 e o denominador para 3.
Portanto, o limite vale a razão desses coeficientes principais.

Resposta

-tfrac13

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