Sejam a, b inteiros. Para n >= 1, provar que:
i) mdc(a, b)=1 se e somente se mdc(a^n, b^n)=1.
ii) a^n mid b^n se e somente se a mid b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas equivalências envolvendo inteiros a,b e uma potência n>=1: primeiro, que mdc(a,b)=1 se e somente se mdc(a^n,b^n)=1; segundo, que a^nmid b^n se e somente se amid b. Vamos usar ferramentas básicas de teoria de números: fatoração em primos, propriedades de divisores e da função mdc.

Passo 2

Para (i), consideremos primeiro mdc(a,b)=1impliesmdc(a^n,b^n)=1. Se houver um primo p que divide ambos a^n e b^n, então p divide a e b, contradizendo mdc(a,b)=1. Assim nenhum primo comum existe, logo mdc(a^n,b^n)=1. A recíproca mdc(a^n,b^n)=1impliesmdc(a,b)=1 segue do mesmo raciocínio: qualquer primo comum a a e b apareceria em suas potências, implicando mdc maior que 1.

Passo 3

Para (ii), se amid b então escrevemos b=ak e elevamos à potência n, obtendo b^n=(ak)^n=a^n k^n, ou seja, a^nmid b^n. Na outra direção, use fatoração em primos: escreva a=prod pi^alphai e b=prod pi^betai. De a^nmid b^n segue nalphai<= nbetai para todo i, daí alphai<=betai, e isso mostra amid b.

Passo 4

Juntando tudo, estabelecemos as duas equivalências desejadas.

Resposta

i) mdc(a,b)=1 se e somente se mdc(a^n,b^n)=1. ii) a^nmid b^n se e somente se amid b.

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