Sejam
inteiros. Para
, provar que:
i)
se e somente se
.
ii)
se e somente se
.
i)
ii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas equivalências envolvendo inteiros
e uma potência
: primeiro, que
se e somente se
; segundo, que
se e somente se
. Vamos usar ferramentas básicas de teoria de números: fatoração em primos, propriedades de divisores e da função mdc.
Passo 2
Para (i), consideremos primeiro
. Se houver um primo
que divide ambos
e
, então
divide
e
, contradizendo
. Assim nenhum primo comum existe, logo
. A recíproca
segue do mesmo raciocínio: qualquer primo comum a
e
apareceria em suas potências, implicando mdc maior que 1.
Passo 3
Para (ii), se
então escrevemos
e elevamos à potência
, obtendo
, ou seja,
. Na outra direção, use fatoração em primos: escreva
e
. De
segue
para todo
, daí
, e isso mostra
.
Passo 4
Juntando tudo, estabelecemos as duas equivalências desejadas.
Resposta
i)
se e somente se
. ii)
se e somente se
.