Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=y cos x

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y)=ycos x
e a classificação deles (máximos locais, mínimos locais ou sela). Para isso vamos usar cálculo de multivariáveis: computar as derivadas parciais, resolver nabla f=0 e aplicar o teste da segunda derivada (determinante da Hessiana).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx = partialpartial x(ycos x) = -ysin x,
fy = partialpartial y(ycos x) = cos x

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
fx=0, fy=0
Isto é
-ysin x = 0, cos x = 0
Da segunda equação vem
cos x = 0 implies x = pi2 + kpi, kinZ
Então sin x = pm1, e para zerar fx precisamos de
-ysin x=0implies y=0
Logo os pontos críticos são
l(x,yr)=l(tfracpi2+kpi,;0r),;kinZ

Passo 4

Agora a Hessiana de f tem entradas
fxx = partialpartial x(-ysin x) = -ycos x, fxy = partialpartial y(-ysin x) = -sin x, fyy = partialpartial y(cos x) = 0
No ponto crítico y=0 e cos x=0, sin x=pm1, obtemos
fxx=0, fxy=-sin x=mp1, fyy=0
O discriminante da Hessiana é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 0cdot0 - (mp1)^2 = -1 <0,
o que indica ponto de sela.

Resposta

Não há máximos nem mínimos locais. Os únicos pontos críticos são pontos de sela em
l(x,yr)=l(tfracpi2+kpi,;0r), kinZ

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