Sejam a, b, c inteiros e d=m d c(a, b). Provar que:
i) Os inteiros r, s tais que d=r a+s b não estão univocamente determinados.
ii) Existem inteiros r, s tais que c=r a+s b se e somente se d mid c.
iii) Para cada par de inteiros r, s, tais que d=r a+s b tem-se que m d c(r, s)=1.

Passo 1

O enunciado pede para, dadas as variáveis inteiras e , provar três propriedades relacionadas à identidade de Bézout e divisibilidade. Vamos usar a definição de como maior divisor comum (MDC), a propriedade de Bézout (existência de tais que ) e as regras de divisibilidade para chegar aos resultados.

Passo 2

Para provar que os inteiros tais que não são únicos, escreva e com . A igualdade vira . Então, para qualquer inteiro definimos
Verifique que
o que mostra infinitas soluções diferentes.

Passo 3

Para (ii), suponha primeiro que existam tais que . Como divide tanto quanto , segue que . Agora, se , escreva . Como já existe identidade de Bézout , basta multiplicá-la por :
mostrando a existência de .

Passo 4

Para (iii), partindo de e usando ,
Se um inteiro divide simultaneamente e , então divide , logo . Assim .

Resposta

i) As soluções de são dadas por , com , , mostrando não unicidade. ii) Existe tal que se e só se . iii) Qualquer par com satisfaz .

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