Sejam
inteiros e
. Provar que:
i) Os inteiros
tais que
não estão univocamente determinados.
ii) Existem inteiros
tais que
se e somente se
.
iii) Para cada par de inteiros
, tais que
tem-se que
.
i) Os inteiros
ii) Existem inteiros
iii) Para cada par de inteiros
Passo 1
O enunciado pede para, dadas as variáveis inteiras
e , provar três propriedades relacionadas à identidade de Bézout e divisibilidade. Vamos usar a definição de
como maior divisor comum (MDC), a propriedade de Bézout (existência de
tais que
) e as regras de divisibilidade para chegar aos resultados.
Passo 2
Para provar que os inteiros
tais que
não são únicos, escreva
e
com . A igualdade
vira
. Então, para qualquer inteiro
definimos
Verifique que
o que mostra infinitas soluções diferentes.
Passo 3
Para (ii), suponha primeiro que existam
tais que
. Como divide tanto
quanto
, segue que
. Agora, se
, escreva
. Como já existe identidade de Bézout
, basta multiplicá-la por
:
mostrando a existência de
.
Passo 4
Para (iii), partindo de
e usando
,
dá
Se um inteiro
divide simultaneamente
e
, então divide
, logo
. Assim .
Resposta
i) As soluções de
são dadas por
, com
,
, mostrando não unicidade. ii) Existe
tal que
se e só se
. iii) Qualquer par
com
satisfaz .