Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x -infty x(2 x+raiz4 x^2+3)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende a menos infinito da expressão . Estamos lidando com limites envolvendo funções polinomiais e radicais, então vamos precisar utilizar algumas propriedades dos limites e simplificar a expressão para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão . Quando tende a menos infinito, é um número muito grande negativo, e será um número muito grande positivo. Portanto, será aproximadamente , e a raiz quadrada de é . Como é negativo, , então .

Passo 3

Agora, substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
x(2x + raiz4x^2 + 3) approx x(2x - 2x) = x(0) = 0
Mas isso parece indicar que o limite seria zero, mas vamos fazer uma análise mais precisa.

Passo 4

Vamos racionalizar a expressão para ter uma avaliação mais exata. Considere a expressão:
x(2x + raiz4x^2 + 3) = x cdot 2x + x cdot raiz4x^2 + 3 = 2x^2 + xraiz4x^2 + 3
Agora, fatoramos raiz4x^2 + 3 = |x|raiz4 + 3x^2 = -xraiz4 + 3x^2 (pois x -infty) de dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:
2x^2 + x(-x)raiz4 + 3x^2 = 2x^2 - x^2 raiz4 + 3x^2 = x^2(2 - raiz4 + 3x^2)

Passo 6

Agora, podemos expandir raiz4 + 3x^2 = 2raiz1 + 34x^2 approx 2(1 + 38x^2) = 2 + 34x^2 usando a expansão de Taylor para obter uma aproximação mais precisa:

Passo 7

Substituindo de volta:
x^2(2 - (2 + 34x^2)) = x^2(-34x^2) = -34

Resposta

O limite quando tende a menos infinito é .

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