Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
tende a menos infinito da expressão
. Estamos lidando com limites envolvendo funções polinomiais e radicais, então vamos precisar utilizar algumas propriedades dos limites e simplificar a expressão para encontrar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão
. Quando
tende a menos infinito,
é um número muito grande negativo, e
será um número muito grande positivo. Portanto,
será aproximadamente
, e a raiz quadrada de
é
. Como
é negativo,
, então
.
Passo 3
Agora, substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Mas isso parece indicar que o limite seria zero, mas vamos fazer uma análise mais precisa.
Passo 4
Vamos racionalizar a expressão para ter uma avaliação mais exata. Considere a expressão:
Agora, fatoramos
de dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Agora, podemos expandir
usando a expansão de Taylor para obter uma aproximação mais precisa:
Passo 7
Substituindo de volta:
Resposta
O limite quando
tende a menos infinito é
.