Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
2x^2 = -y^2 + 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação que representa uma seção cônica:  . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de seção cônica é essa, encontrar os vértices e os focos, e ainda fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as equações das seções cônicas se apresentam e quais são suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da seção cônica. A equação dada é:
Vamos trazer todos os termos para o mesmo lado:
E, para simplificar, dividimos todos os termos por 8:
Agora, a equação está na forma padrão das seções cônicas.

Passo 3

Observando a equação padrão:
Vemos que ambos os termos estão positivos e somados, o que nos indica que estamos lidando com uma elipse. Se fosse subtração, seria uma hipérbole, e se apenas um dos termos estivesse presente, seria uma parábola.

Passo 4

Para encontrar os vértices da elipse, precisamos identificar os valores de e na equação padrão. Na nossa equação:
Temos e , então:
Os vértices da elipse estão localizados ao longo do eixo maior. Neste caso, como , o eixo maior está no eixo . Assim, os vértices são:

Passo 5

Os focos da elipse também estão ao longo do eixo maior. Para encontrar a distância dos focos ( ), usamos a relação:
Então, as coordenadas dos focos são:

Passo 6

Agora, vamos fazer um esboço da elipse com base nos vértices e focos que encontramos:
  1. Desenhe os eixos e .
  2. Marque os vértices em e .
  3. Marque os focos em e .
  4. Desenhe a elipse passando pelos vértices e simétrica em relação ao eixo .

Resposta

A equação representa uma elipse com vértices em e , e focos em e . O esboço da elipse deve ser simétrico em relação ao eixo , passando pelos vértices e focos identificados.

Exercícios relacionados