Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação que representa uma seção cônica:
. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de seção cônica é essa, encontrar os vértices e os focos, e ainda fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as equações das seções cônicas se apresentam e quais são suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da seção cônica. A equação dada é:
Vamos trazer todos os termos para o mesmo lado:
E, para simplificar, dividimos todos os termos por 8:
Agora, a equação está na forma padrão das seções cônicas.
Passo 3
Observando a equação padrão:
Vemos que ambos os termos estão positivos e somados, o que nos indica que estamos lidando com uma elipse. Se fosse subtração, seria uma hipérbole, e se apenas um dos termos estivesse presente, seria uma parábola.
Passo 4
Para encontrar os vértices da elipse, precisamos identificar os valores de
e
na equação padrão. Na nossa equação:
Temos
e
, então:
Os vértices da elipse estão localizados ao longo do eixo maior. Neste caso, como
, o eixo maior está no eixo
. Assim, os vértices são:
Passo 5
Os focos da elipse também estão ao longo do eixo maior. Para encontrar a distância dos focos (
), usamos a relação:
Então, as coordenadas dos focos são:
Passo 6
Agora, vamos fazer um esboço da elipse com base nos vértices e focos que encontramos:
- Desenhe os eixos
e . - Marque os vértices em
e . - Marque os focos em
e . - Desenhe a elipse passando pelos vértices e simétrica em relação ao eixo
.
Resposta
A equação
representa uma elipse com vértices em
e
, e focos em
e
. O esboço da elipse deve ser simétrico em relação ao eixo
, passando pelos vértices e focos identificados.