O teorema de Green pode ser utilizado para calcular a integral:
integralC -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2
(a) onde C é a circunferência x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular uma integral de linha ao longo da circunferência definida por , orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy que delimita uma região no plano, temos:
Aqui, e são funções contínuas com derivadas parciais contínuas na região .

Passo 3

No nosso caso, temos:
P(x, y) = -yx^2 + y^2 e Q(x, y) = xx^2 + y^2
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( xx^2 + y^2 ) = (x^2 + y^2)(1) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2 + y^2 ) = (x^2 + y^2)(-1) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença das derivadas parciais:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 0
Isso significa que a integral dupla sobre a região integral duplaD 0 , dx , dy = 0 será zero:

Passo 5

No entanto, é importante notar que o Teorema de Green só se aplica diretamente se a região for simplesmente conexa, ou seja, sem buracos. No nosso caso, a circunferência envolve o ponto , onde as funções e não estão definidas (pois o denominador ). Isso significa que a região tem um “buraco” no meio.

Passo 6

Devido a essa singularidade no ponto , o cálculo direto usando o Teorema de Green nos leva a um resultado incorreto. Na verdade, a integral de linha dada é conhecida por representar a integral fechada do formulário diferencial de ângulo ao redor da origem. Ao percorrer uma volta completa ao redor da origem, o ângulo varia de a .

Passo 7

Portanto, a integral:
ointC -yx^2 + y^2 , dx + xx^2 + y^2 , dy = 2pi

Resposta

A integral vale .

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