O teorema de Green pode ser utilizado para calcular a integral:
(a) onde
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular uma integral de linha ao longo da circunferência
definida por
, orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, temos:
Aqui,
e
são funções contínuas com derivadas parciais contínuas na região
.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença das derivadas parciais:
Isso significa que a integral dupla sobre a região
será zero:
Passo 5
No entanto, é importante notar que o Teorema de Green só se aplica diretamente se a região
for simplesmente conexa, ou seja, sem buracos. No nosso caso, a circunferência
envolve o ponto
, onde as funções
e
não estão definidas (pois o denominador
). Isso significa que a região
tem um “buraco” no meio.
Passo 6
Devido a essa singularidade no ponto
, o cálculo direto usando o Teorema de Green nos leva a um resultado incorreto. Na verdade, a integral de linha dada é conhecida por representar a integral fechada do formulário diferencial de ângulo
ao redor da origem. Ao percorrer uma volta completa ao redor da origem, o ângulo
varia de
a
.
Passo 7
Portanto, a integral:
Resposta
A integral vale
.