Calcule os seguintes limites, caso estes existam.
lim x +infty f(x), onde f: R backslash0 R, é dada por f(x):=sen(1 / x^2) / x^2, sabendo-se que sen^prime=cos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+inftyf(x), onde f(x)=sin(1/x^2)/x^2. O conteúdo é limite de função no infinito e vamos precisar usar propriedades de limite, em especial comportamento de sin(z) quando zto0.

Passo 2

Para facilitar, fazemos a troca de variável z=1/x^2. Note que quando xto+infty, temos zto0^+. Assim podemos reescrever
f(x)=sin(1/x^2)x^2=sin(z)1/z=z,sin(z)

Passo 3

Agora analisamos limzto0z,sin(z). Sabemos que sin(z) é limitada ( |sin(z)|<=1) e que zto0. Podemos aplicar o teorema do confronto:
|z,sin(z)|<=|z|cdot|sin(z)|<=|z|cdot1=|z|,
e limzto0|z|=0. Pelo teorema do confronto, segue limzto0z,sin(z)=0.

Passo 4

Como essa expressão é igual à nossa f(x) sob a mudança de variável, concluímos que limxto+inftyf(x)=0.

Resposta

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