Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x +infty(x-4x-1)^x+3

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x-4x-1r)^x+3
Este é um caso da forma indeterminada 1^infty. Vamos reescrever a base como 1+u(x) e usar o logaritmo para transformar em um limite exponencial.

Passo 2

Reescrevendo a base em torno de 1, temos
x-4x-1 =1-3x-1

Passo 3

Para limites da forma f(x)^g(x) com f(x)to1 e g(x)to+infty, usamos
limxto af(x)^g(x) =expl(limxto ag(x)ln f(x)r),
desde que o limite interno exista. Aqui definimos
L=limxto+infty(x+3)lnl(1-3x-1r)

Passo 4

Expandindo o logaritmo por série de Taylor para xtoinfty:
lnl(1-3x-1r) =-3x-1-129(x-1)^2+ol(1(x-1)^2r)
Multiplicando por x+3:
(x+3)lnl(1-3x-1r) =(x+3)l(-3x-1r)+o(1) =-3x+3x-1+o(1)
E
-3x+3x-1 =-3l(1+4x-1r) longrightarrow -3
Portanto L=-3.

Passo 5

Voltando à função original, concluímos
limxto+inftyl(x-4x-1r)^x+3 =exp(L) =exp(-3) =e^-3

Resposta

e^-3

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