Exercício III.3: Utilizando a referência (GRECA et al., 2001), discuta o conceito quântico de observáveis incompatíveis e sua relação com o Princípio da Incerteza.

Passo 1

O enunciado pede que a gente explique o que são observáveis incompatíveis em mecânica quântica, segundo GRECA et al. ( 2001), e como isso se conecta ao Princípio da Incerteza de Heisenberg. O conteúdo envolve operadores em espaços de Hilbert, comutadores e a desigualdade de incerteza de Robertson–Schrödinger.

Passo 2

Em mecânica quântica, cada observável físico A é representado por um operador linear hermitiano em um espaço de Hilbert. Quando medimos um observável em um estado lvertpsirang<=, o resultado é um dos autovalores de A e o sistema “colapsa” para o autovetor correspondente.

Passo 3

Dois observáveis A e B são ditos compatíveis se é possível medir ambos simultaneamente com precisão arbitrária. Em linguagem de operadores, isso equivale a
[A,B] ;=; AB - BA ;=; 0
Se [A,B]neq0, dizemos que A e B são incompatíveis, pois não existe base comum de autovetores para eles.
A incompatibilidade leva diretamente ao Princípio da Incerteza. Pela desigualdade de Robertson–Schrödinger, para qualquer estado lvertpsirang<= temos
De<a A,De<a B ;>=; tfrac12,l|lang<=psilvert[A,B]rvertpsirang<=r|
Aqui De<a A e De<a B são os desvios-padrão das distribuições de medidas de A e B em lvertpsirang<=.

Passo 4

Um exemplo clássico é posição x e momento p, cujo comutador vale [x,p]=ihbar. Da desigualdade acima segue
De<a x,De<a p ;>=;tfrachbar2
Isso mostra que a natureza quântica proíbe medições simultâneas arbitrariamente precisas de grandezas incompatíveis: quanto mais bem definida está uma, maior a incerteza na outra.

Resposta

Observáveis incompatíveis são representados por operadores hermitianos cujo comutador não se anula. Essa não comutação implica diretamente na desigualdade de incerteza
De<a A,De<a B ;>=; tfrac12l|lang<=[A,B]rang<=r|,
sendo o caso mais famoso De<a x,De<a p>=hbar/2. Dessa forma, a incompatibilidade algébrica traduz-se em uma limitação física fundamental à precisão simultânea de medições.

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