Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x -infty(x+2x+1)^x

Passo 1

Estamos calculando
limxto -inftyl(x+2x+1r)^x.
Este é um limite do tipo 1^infty, então vamos usar logaritmo ou reescrever para aplicar o limite fundamental que gera e.

Passo 2

Observe que
x+2x+1 ;=; 1 + 1x+1,
de modo que a expressão fica l(1+tfrac1x+1r)^x, com base tendendo a 1 e expoente a -infty.

Passo 3

Faça a mudança de variável
t = x+1,
então quando xto -infty temos tto -infty e
l(1+tfrac1x+1r)^x = l(1+tfrac1tr)^,t-1 = l(1+tfrac1tr)^t;l(1+tfrac1tr)^-1

Passo 4

Sabemos que
limttopminftyl(1+tfrac1tr)^t = e
e limtto -inftyl(1+tfrac1tr) = 1.
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limxto -inftyl(x+2x+1r)^x = e cdot 1 = e

Resposta

e

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