(a) Mostre que yp(x)=x / 4 é solução da equação diferencial y^prime prime+4 y=x.
(b) Determine a solução geral da equação. [Resp: y(x)=x / 4+c2 sin (2 x)+c1 cos (2 x)].

Passo 1

O enunciado pede para a equação diferencial
y^primeprime + 4y = x
(a) mostrar que a função particular yp(x)=x4 satisfaz essa equação, e
(b) encontrar a solução geral dessa equação.
O conteúdo envolvido é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para verificar que yp(x)=x4 é solução particular, calculamos suas derivadas:
yp'(x)=ddxl(x4r)=14, yp''(x)=0
Substituindo em
y'' + 4y
vem
0 + 4cdotx4 = x,
logo ,yp(x)=x4 satisfaz a equação original.

Passo 3

Para a parte homogênea
y^primeprime + 4y = 0
usamos o ansatz y=e^rx. A equação característica é
r^2 + 4 = 0
de onde
r = pm 2,i
Portanto a solução geral da homogênea é
yh(x) = c1cos(2x) + c2sin(2x),
com c1 e c2 constantes arbitrárias.

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = c1cos(2x) + c2sin(2x) + x4

Resposta

y(x) = x4 + c2sin(2x) + c1cos(2x)

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