Exercício II.9: Prove que os vetores
e
do espaço vetorial
sobre os reais são Ll.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores
,
e
no espaço vetorial são linearmente independentes.
Para isso vamos usar a definição de independência linear e o fato de que a soma de vetores em é feita coordenada a coordenada.
no espaço vetorial
Para isso vamos usar a definição de independência linear e o fato de que a soma de vetores em
Passo 2
Lembrando a definição, um conjunto de vetores
é linearmente independente se, sempre que
seguem-se
.
Aqui vamos aplicar isso a ,
,
. Suponha então
Aqui vamos aplicar isso a
com
.
Passo 3
Como
,
e
, a combinação fica
Pela suposição isso deve ser igual a
.
Passo 4
Igualando coordenadas, obtemos
Como a única solução é a trivial, concluímos que
é linearmente independente.
Resposta
Os vetores
em
são linearmente independentes.