Exercício II.9: Prove que os vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1) do espaço vetorial R^3 sobre os reais são Ll.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1)
no espaço vetorial R^3 são linearmente independentes.
Para isso vamos usar a definição de independência linear e o fato de que a soma de vetores em R^3 é feita coordenada a coordenada.

Passo 2

Lembrando a definição, um conjunto de vetores v1,v2,v3 é linearmente independente se, sempre que
lambda1,v1 + lambda2,v2 + lambda3,v3 = (0,0,0),
seguem-se lambda1=lambda2=lambda3=0.
Aqui vamos aplicar isso a v1=e1, v2=e2, v3=e3. Suponha então
lambda1,e1 ;+;lambda2,e2;+;lambda3,e3 ;=;(0,0,0),
com lambda1,lambda2,lambda3inR.

Passo 3

Como e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1), a combinação fica
lambda1,(1,0,0)+lambda2,(0,1,0)+lambda3,(0,0,1) =(lambda1,;0,;0)+ (0,lambda2,0)+(0,0,lambda3) =(lambda1,lambda2,lambda3)
Pela suposição isso deve ser igual a (0,0,0).

Passo 4

Igualando coordenadas, obtemos
lambda1 = 0, lambda2 = 0, lambda3 = 0
Como a única solução é a trivial, concluímos que e1,e2,e3 é linearmente independente.

Resposta

Os vetores e1,e2,e3 em R^3 são linearmente independentes.

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