Calcule os seguintes limites, caso existam.
lim x 1 raiz[5]x-1raiz2 x+3-raiz5

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
limxto1raiz[5]x-1raiz2x+3-raiz5
Isso envolve uma forma indeterminada 0/0. O conteúdo é limites e técnicas de resolução de indeterminações, como racionalização de denominador e fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Substituindo diretamente x=1: no numerador temos
raiz[5]1-1 = 0
e no denominador
raiz2cdot1+3-raiz5 = raiz5-raiz5 = 0
Logo, a expressão é indeterminada do tipo 0/0.

Passo 3

Vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raiz2x+3+raiz5. Assim obtém-se
raiz[5]x-1raiz2x+3-raiz5 = (raiz[5]x-1)(raiz2x+3+raiz5)(raiz2x+3-raiz5)(raiz2x+3+raiz5) = (raiz[5]x-1)(raiz2x+3+raiz5)2x+3 - 5 = (raiz[5]x-1)(raiz2x+3+raiz5)2(x-1)

Passo 4

Ainda há o fator raiz[5]x-1. Usamos a identidade de soma de potências de grau 5:
raiz[5]x-1 = x-1raiz[5]x^4+raiz[5]x^3+raiz[5]x^2+raiz[5]x+1
Substituindo na expressão simplificada:
(raiz[5]x-1)(raiz2x+3+raiz5)2(x-1) = x-12(x-1)cdotraiz2x+3+raiz5raiz[5]x^4+raiz[5]x^3+raiz[5]x^2+raiz[5]x+1 = raiz2x+3+raiz52l(raiz[5]x^4+raiz[5]x^3+raiz[5]x^2+raiz[5]x+1r)

Passo 5

Agora basta fazer xto1. No numerador temos
raiz2cdot1+3+raiz5 = 2raiz5
e no denominador
2(1+1+1+1+1)=10
Portanto o limite é
2raiz510 = raiz55

Resposta

raiz55

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