Determine as assíntotas horizontais de y=f(x) nos seguintes casos.
f(x)=ccraizx^2+x+1-x & se x >= 0 1x^2+1 & se x<0

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= raizx^2+x+1-x, & x>=0, dfrac1x^2+1, & x<0,
e pede as assíntotas horizontais, ou seja, os valores de limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x).

Passo 2

Calcular limxto+inftyl(raizx^2+x+1-xr). Racionalizamos:
raizx^2+x+1-x =l(raizx^2+x+1-xr)l(raizx^2+x+1+xr) raizx^2+x+1+x =x^2+x+1 - x^2raizx^2+x+1+x =x+1raizx^2+x+1+x
Dividindo numerador e denominador por x (positiva para xto+infty):
x+1raizx^2+x+1+x =1+tfrac1xraiz1+tfrac1x+tfrac1x^2+1 ;xrightarrow[xto+infty];1+0raiz1+0+0+1 =12

Passo 3

Calcular limxto-infty1x^2+1. Como x^2to+infty, tem-se
1x^2+1;xrightarrow[xto-infty];0

Passo 4

Os limites em pminfty dão as assíntotas horizontais:
  • para xto+infty, ytotfrac12;
  • para xto-infty, yto0.

Resposta

y=tfrac12 para xto+infty
y=0 para xto-infty

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